8. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 250-255-258-259 Cevapları Sonuç Yayınları

Pisagor, üçgenlerin bilinmeyen kenar uzunluklarının bilinen kenar uzunluklarından faydalanarak bulunmasına yönelik bir bağıntı oluşturmuştur. Üçgenlerin kenar uzunluklarını bulmaya yönelik çalışmalar yapan diğer bilim insanlarını araştırınız.

Cevap: Bu konuda çalışan bilim insanlarından ikisi Öklid ve Thales’tir.

• Öklid, “Elementler” kitabında üçgenlerin kenar ve açı ilişkilerini inceledi; Pisagor bağıntısının kendi ispatını da verdi.
• Thales, benzer üçgenlerde kenar oranlarının eşit olmasından yararlanıp bir cismin gölgesinden yüksekliğini hesapladı.

Kareli kâğıda, alanları sırasıyla 25 cm², 16 cm² ve 9 cm² olan üç farklı kare çiziniz. Kareleri sırasıyla pembe, mavi ve sarıya boyayınız, makasla kesiniz. Kenarlarını yandaki gibi A4 kâğıdının üzerine yerleştirip oluşturduğunuz üçgeni turuncuya boyayınız. Turuncu üçgen, bir dik üçgen olabilir mi? Açıklayınız.

Cevap: Evet, turuncu üçgen bir dik üçgen olabilir. Kenarları 3 cm, 4 cm ve 5 cm olur ve 3² + 4² = 5² sağlanır.

• Karenin alanı kenarının karesi olduğundan kenarlar √25 = 5 cm, √16 = 4 cm, √9 = 3 cm.
• Küçük iki karenin alanları toplamı: 9 + 16 = 25 cm², yani büyük karenin alanı.
• Kenarlar Pisagor bağıntısını sağladığı için 3, 4, 5 cm’lik üçgen dik üçgendir; hipotenüs 5 cm’lik kenardır.

Kareli kâğıda alanları sırasıyla 49 cm², 36 cm² ve 9 cm² olan üç farklı kare çiziniz. Kareleri sırasıyla pembe, mavi ve sarıya boyayıp kesiniz. Pembe, mavi ve sarı karelerin kenarlarını kullanarak bir dik üçgen elde edebilir misiniz? Açıklayınız.

Cevap: Hayır, elde edemem. Kenarlar 7 cm, 6 cm ve 3 cm olur ama 3² + 6² = 45, 7² = 49 olduğundan Pisagor bağıntısı sağlanmaz.

• Kenarlar: √49 = 7 cm, √36 = 6 cm, √9 = 3 cm. En uzun kenar 7 cm olduğundan hipotenüs olacak kenar odur.
• Küçük karelerin alanları toplamı 9 + 36 = 45 cm²; büyük karenin alanı 49 cm².
• 45 ≠ 49 olduğu için bu üç uzunlukla oluşan üçgen dik üçgen değildir.

Bir fırtınada zarar gören 5 m uzunluğundaki bir ağacın gövdesi yerden 240 cm yükseklikten kırılmış ve kırılan bölüm gövdeden tam olarak kopmayarak eğik bir şekilde topraga değmiştir. Buna göre ağacın toprakta olan gövdesi ile kırılarak toprağa değdiği yer arasındaki uzaklık kaç cm’dir?

Cevap: 100 cm. Ağaç 5 m = 500 cm, kırılan kısım 500 − 240 = 260 cm’dir ve dik üçgenin hipotenüsü olur. x² + 240² = 260², x² = 67 600 − 57 600 = 10 000, x = 100 cm.

1. Aşağıdaki dik üçgenlerde verilen kenar uzunluklarına göre x, y ve z değerlerini bulunuz. a) ABC üçgeninde C dik açı, |AC| = 15 br, |BC| = 8 br, |AB| = x br.

Cevap: a) x = 17 br.

• 15 br ve 8 br dik kenar, x hipotenüs: 15² + 8² = x².
• 225 + 64 = 289 olduğundan x² = 289 ve x = 17 br.

b) DEF üçgeninde E dik açı, |ED| = 6 br, |DF| = 15 br, |EF| = y br.

Cevap: b) y = 3√21 br.

• Hipotenüs dik açının karşısındaki [DF] = 15 br; dik kenarlar 6 br ve y.
• 6² + y² = 15² olduğundan 36 + y² = 225 ve y² = 189.
• 189 = 9 × 21 olduğu için y = √189 = 3√21 br.

c) KLM üçgeninde K dik açı, |KL| = 10 br, |KM| = 10 br, |LM| = z br.

Cevap: c) z = 10√2 br.

• Dik kenarlar 10 br ve 10 br; [LM] hipotenüs: 10² + 10² = z².
• 100 + 100 = 200 olduğundan z = √200 = √(100 × 2) = 10√2 br.

2. Bir firma, reklam balonunu kullanarak tanıtım yapmaya karar vermiştir ve firma, yanda verilen reklam balonunu görseldeki gibi zemine sabitlemiştir (iki ip de 450 cm; balonun tam altından ipin zemine bağlandığı noktaya uzaklık 270 cm). Yanda verilenlere göre reklam balonunun zeminden yüksekliği (x) kaç cm’dir?

Cevap: Reklam balonunun zeminden yüksekliği x = 360 cm’dir.

• x, 270 cm ve 450 cm bir dik üçgen oluşturur; 450 cm hipotenüstür.
• 450² = x² + 270², yani 202 500 = x² + 72 900.
• x² = 129 600 olduğundan x = 360 cm (360 × 360 = 129 600).

3. Eşref, geometri tahtasında turuncu lastikle yandaki dik üçgen modelini oluşturmuştur. Eşref’in oluşturduğu dik üçgen modelindeki hipotenüsün uzunluğu kaç birimdir?

Cevap: Hipotenüsün uzunluğu √41 birimdir.

• Noktaları sayınca dik kenarların uzunlukları 5 birim (dikey) ve 4 birim (yatay).
• Hipotenüs x olsun: x² = 5² + 4² = 25 + 16 = 41.
• 41 tam kare olmadığı için x = √41 birimdir (6 ile 7 arasında, yaklaşık 6,4).

4. Yandaki şekilde KLM, KMN ve KNP, birer dik üçgendir. |MN| = 4√2 cm, |KL| = |LM| = 4 cm, |NP| = 6 cm ve |KP| = x cm olduğuna göre x kaçtır?

Cevap: x = 10 cm.

• KLM (L dik): |KM|² = 4² + 4² = 32, |KM| = 4√2 cm.
• KMN (M dik): |KN|² = 32 + 32 = 64, |KN| = 8 cm.
• KNP (N dik): x² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100, x = 10 cm.

5. Aşağıda kenar uzunlukları verilen dikdörtgen ve karelerin köşegen uzunluklarını bulunuz. a) ABCD dikdörtgeninde |DC| = 3 cm, |AD| = 8 cm.

Cevap: a) Köşegen uzunluğu √73 cm’dir.

• Köşegen, kenarları 3 cm ve 8 cm olan dik üçgenin hipotenüsüdür.
• 3² + 8² = 9 + 64 = 73 olduğundan köşegen √73 cm.

b) KLMN karesinde kenar uzunluğu 6 cm.

Cevap: b) Köşegen uzunluğu 6√2 cm’dir.

• 6² + 6² = 36 + 36 = 72.
• √72 = √(36 × 2) = 6√2 cm.

c) PRST karesinde kenar uzunluğu 5 cm.

Cevap: c) Köşegen uzunluğu 5√2 cm’dir.

• 5² + 5² = 25 + 25 = 50.
• √50 = √(25 × 2) = 5√2 cm. Kenarı a olan karenin köşegeni a√2’dir.

6. Koordinat düzleminde A(−2, 3) ile B(0, −1) noktalarının arasındaki uzaklığı bulunuz.

Cevap: A ile B arasındaki uzaklık 2√5 birimdir.

• Yatay fark |0 − (−2)| = 2, dikey fark |−1 − 3| = 4; bunlar dik üçgenin dik kenarlarıdır.
• |AB|² = 2² + 4² = 4 + 16 = 20.
• |AB| = √20 = √(4 × 5) = 2√5 birim.

7. |KL| = 5 cm, |LM| = 5 cm ve |KM| = 5√2 cm olan bir KLM üçgeninin dik üçgen olup olmadığını belirleyiniz.

Cevap: Evet, KLM üçgeni bir dik üçgendir; dik açı L köşesindedir.

• 5√2 ≈ 7,07 en uzun kenar olduğundan hipotenüs olabilecek kenar [KM]’dir.
• |KL|² + |LM|² = 25 + 25 = 50 ve |KM|² = (5√2)² = 25 × 2 = 50.
• İki taraf eşit olduğu için Pisagor bağıntısı sağlanır ve üçgen dik üçgendir.