6. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 32-33-34-35-36 Cevapları 1. Kitap

Yandaki tabloda 3’ün katı olan doğal sayıları ve 9’un katı olan doğal sayıları farklı renkte kalemlerle işaretleyiniz. Daha sonra 3’e ve 9’a bölünebilen bu sayıların ortak özelliklerini belirleyip, 3’ün iki basamaklı katlarından ve 9’un iki basamaklı katlarından dörder tane seçerek aşağıdaki tabloları örnekteki gibi doldurunuz. (Tablo-1 örneği: 12 → 1 + 2 = 3; Tablo-2 örneği: 18 → 1 + 8 = 9)

Cevap: Tabloda 3’ün katlarını daire içine aldım (3, 6, 9, … , 60; 20 sayı), 9’un katlarını maviye boyadım (9, 18, 27, 36, 45, 54; 6 sayı). Tablo-1 için 24, 45, 57 ve 78’i; Tablo-2 için 36, 54, 72 ve 99’u seçtim.

• Tablo-1: 24 → 2 + 4 = 6, 45 → 4 + 5 = 9, 57 → 5 + 7 = 12, 78 → 7 + 8 = 15
• Tablo-2: 36 → 3 + 6 = 9, 54 → 5 + 4 = 9, 72 → 7 + 2 = 9, 99 → 9 + 9 = 18
• Ortak özellik: 3’ün katlarında rakamların toplamı 3’ün katı, 9’un katlarında 9’un katı çıkıyor. Boyalı kutuların hepsi aynı zamanda daire içinde; yani 9’un her katı 3’ün de katıdır.

1) Tablo-1’i inceleyerek 3’e kalansız bölünebilme ile ilgili bir genelleme yapabilir misiniz? Yaptığınız genellemeyi yazınız ve arkadaşlarınızla paylaşınız.

Cevap: Evet. Tablo-1’deki toplamlar 3, 6, 9, 12 ve 15 çıktı; hepsi 3’ün katı. Rakamları toplamı 3’ün katı olan sayılar 3’e kalansız bölünür.

2) Tablo-2’yi inceleyerek 9’a kalansız bölünebilme ile ilgili bir genelleme yapabilir misiniz? Yaptığınız genellemeyi yazınız ve arkadaşlarınızla paylaşınız.

Cevap: Evet. Tablo-2’deki toplamlar 9 ya da 18 çıktı. Rakamları toplamı 9’un katı olan sayılar 9’a kalansız bölünür.

3) Farklı sayılar kullanarak yaptığınız genellemelerin yönteminizi karşılayıp karşılamadığını kontrol ediniz.

Cevap: İki genelleme de denediğim sayılarda doğru çıktı.

• 471: 4 + 7 + 1 = 12 → 3’ün katı ama 9’un katı değil. 471 ÷ 3 = 157 kalansız; 471 ÷ 9 işleminde kalan 3.
• 8235: 8 + 2 + 3 + 5 = 18 → 9’un katı. 8235 ÷ 9 = 915, kalan yok.
• 500: 5 + 0 + 0 = 5 → 3’ün katı değil. 500 ÷ 3 işleminde kalan 2.

4) Bir sayının 3 ile kalansız bölünebilmesi için sağlaması gereken kriterler nelerdir?

Cevap: Sayının rakamları toplamı 3’ün katı (3, 6, 9, 12, …) olmalıdır.

5) Bir sayının 9 ile kalansız bölünebilmesi için sağlaması gereken kriterler nelerdir?

Cevap: Sayının rakamları toplamı 9’un katı (9, 18, 27, …) olmalıdır.

Aşağıdaki doğal sayılardan 3 ile kalansız bölünebilenleri işaretleyiniz. (27, 152, 3600, 305, 2045, 249, 5314, 1002)

Cevap: 27, 3600, 249 ve 1002 işaretlenir.

• Rakamları toplamı 3’ün katı olanlar: 27 → 9, 3600 → 9, 249 → 15, 1002 → 3
• Olmayanlar: 152 → 8, 305 → 8, 2045 → 11, 5314 → 13

Aşağıdaki doğal sayılardan 9 ile kalansız bölünebilenleri işaretleyiniz. (45, 184, 314, 6016, 3222, 873, 3647, 7992)

Cevap: 45, 3222, 873 ve 7992 işaretlenir.

• Rakamları toplamı 9’un katı olanlar: 45 → 9, 3222 → 9, 873 → 18, 7992 → 27
• Olmayanlar: 184 → 13, 314 → 8, 6016 → 13, 3647 → 20

▲ ve ■ birer doğal sayıyı temsil etmektedir. 14▲ üç basamaklı doğal sayısı 3 ile kalansız bölünebilmektedir. 27■ üç basamaklı doğal sayısı 9 ile kalansız bölünebilmektedir. Buna göre ▲ + ■’nin alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevap: ▲ + ■ en çok 16 olur.

• 14▲ için: 1 + 4 = 5. Toplamın 3’ün katı olması için ▲ yerine 1, 4 ya da 7 gelir (toplam 6, 9 ya da 12 olur). En büyüğü 7.
• 27■ için: 2 + 7 = 9. Toplamın 9’un katı olması için ■ yerine 0 ya da 9 gelir (toplam 9 ya da 18 olur). En büyüğü 9.
• 7 + 9 = 16

Yandaki dijital saatte, saati ve dakikayı gösteren sayılar yan yana yazılarak dört basamaklı 1009 doğal sayısı elde edilmiştir. Benzer şekilde elde edilecek doğal sayının hem 5’e hem de 9’a kalansız bölünebilmesi için en az kaç dakikanın geçmesi gerektiğini bulunuz.

Cevap: En az 26 dakika geçmelidir; saat 10.35 olduğunda 1035 sayısı elde edilir.

• Saat 10 iken sayı “10” ile başlar: 1 + 0 = 1. Rakamlar toplamının 9 olması için dakikanın iki rakamının toplamı 8 olmalı.
• 5’e bölünmesi için dakika 0 ya da 5 ile bitmeli: 80. dakika olmaz, geriye 35 kalır.
• 1035 → 1 + 0 + 3 + 5 = 9 ve birler basamağı 5. Geçen süre: 35 − 9 = 26 dakika.

Yandaki tabloda 2’nin katlarını ve 3’ün katlarını iki farklı renkte kalemle işaretleyiniz. Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız. 1) Her iki kalemle birden işaretlediğiniz sayıları sırasıyla yazınız. Bu sayıların hangi sayının katı olduğunu belirleyiniz.

Cevap: İki işareti birden alan sayılar 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42 ve 48’dir; bunlar 6’nın katlarıdır. (Görselde 2’nin katları daire içinde, 3’ün katları mavi boyalı.)

• 2’nin katları: 2, 4, 6, … , 50 (25 sayı)
• 3’ün katları: 3, 6, 9, … , 48 (16 sayı)
• Hem daire içinde hem boyalı olan sekiz sayı 6’şar artıyor.

2) Hem 2’ye hem de 3’e kalansız bölünebilen sayılarla ilgili bir genelleme yapabilir misiniz? Yaptığınız genellemeyi yazınız ve arkadaşlarınızla paylaşınız.

Cevap: Evet. Hem 2’ye hem 3’e kalansız bölünen sayılar 6’ya da kalansız bölünür.

3) Farklı sayılar kullanarak yaptığınız genellemelerin yönteminizi karşılayıp karşılamadığını kontrol ediniz.

Cevap: Genelleme denediğim sayılarda doğru çıktı.

• 84: çift ve 8 + 4 = 12 → 84 ÷ 6 = 14, kalan yok.
• 150: çift ve 1 + 5 + 0 = 6 → 150 ÷ 6 = 25, kalan yok.
• 92: çift ama 9 + 2 = 11 → 92 ÷ 6 işleminde kalan 2.
• 81: 8 + 1 = 9 ama tek → 81 ÷ 6 işleminde kalan 3.

4) Bir sayının hem 2’ye hem de 3’e kalansız bölünebilmesi için sağlaması gereken kriterler nelerdir?

Cevap: Sayının birler basamağı çift (0, 2, 4, 6, 8) olmalı ve rakamları toplamı 3’ün katı olmalıdır.

Aşağıdaki doğal sayılardan 6 ile kalansız bölünebilenleri işaretleyiniz. (755, 564, 1024, 82, 1251, 54, 2000, 906)

Cevap: 564, 54 ve 906 işaretlenir.

• Tek olan 755 ve 1251’i baştan eledim.
• Çift olanların rakamları toplamı: 564 → 15, 1024 → 7, 82 → 10, 54 → 9, 2000 → 2, 906 → 15
• Toplamı 3’ün katı olanlar: 564, 54, 906

Tabloda verilen sayılardan 4’ün katı olan ilk üç sayı işaretlenmiştir. Örüntüden yola çıkarak, 4’ün katı olan diğer doğal sayıları işaretleyip 4’e bölünebilen bu sayıların ortak özelliklerini belirleyiniz. 1) Bu sayıları sırasıyla yazarak 4’e kalansız bölünebilme ile ilgili bir genelleme yapabilir misiniz? Yaptığınız genellemeyi yazınız ve arkadaşlarınızla paylaşınız.

Cevap: İşaretli sayılar 100, 104, 108, 112, 116, 120, 124, 128, 132, 136, 140, 144 ve 148’dir. Genelleme: son iki basamağı 00 ya da 4’ün katı olan sayılar 4’e kalansız bölünür.

• 100, 104 ve 108’den sonra 4’er ekleyerek 112’den 148’e kadar on sayı daha işaretledim.
• Bu sayıların son iki basamağı 00, 04, 08, 12, 16, … , 48; hepsi 4’ün katı.

2) Farklı sayılar kullanarak yaptığınız genellemelerin yönteminizi karşılayıp karşılamadığını kontrol ediniz.

Cevap: Genelleme denediğim sayılarda doğru çıktı.

• 536: son iki basamak 36 = 4 × 9 → 536 ÷ 4 = 134, kalan yok.
• 1300: son iki basamak 00 → 1300 ÷ 4 = 325, kalan yok.
• 718: son iki basamak 18, 4’ün katı değil → 718 ÷ 4 işleminde kalan 2.

3) Bir sayının 4 ile kalansız bölünebilmesi için sağlaması gereken kriterler nelerdir?

Cevap: Sayının son iki basamağı 00 olmalı ya da son iki basamağın oluşturduğu sayı 4’ün katı olmalıdır.

Aşağıdaki doğal sayılardan 4 ile kalansız bölünebilenleri işaretleyiniz. (64, 350, 128, 1074, 3142, 784, 5056, 870)

Cevap: 64, 128, 784 ve 5056 işaretlenir.

• Son iki basamakları 64, 28, 84 ve 56’dır: 64 = 4 × 16, 28 = 4 × 7, 84 = 4 × 21, 56 = 4 × 14
• Ötekilerde son iki basamak 50, 74, 42 ve 70; bunların hiçbiri 4’ün katı değil.

Yusuf, Ayşe, Ali ve Ceren “Aklımdan bir sayı tuttum, bil bakalım!” oyununu oynamaktadırlar. Bu oyunda aklından bir sayı tutan kişi, ipuçları vererek arkadaşlarının sayıyı bulmasını beklemektedir. Akıllarından tuttukları doğal sayılar ile ilgili ipuçları aşağıda verilmiştir. (Yusuf: Benim aklımdaki sayı, üç basamaklı ve 9 ile tam bölünebiliyor. Yüzler basamağında 7, onlar basamağında ise 3 rakamı var. Ayşe: Benim aklımdaki sayı, 5 ile kalansız bölünebilen iki basamaklı en büyük sayıdır. Ceren: Aklımdaki sayı, iki basamaklı ve 2 ile kalansız bölünebilen en büyük sayıdır. Ali: Ben hem 3’e hem de 4’e kalansız bölünebilen üç basamaklı en küçük sayıyı tuttum.)

Cevap: Yusuf 738’i, Ayşe 95’i, Ceren 98’i, Ali 108’i tutmuştur.

• Yusuf: 7 + 3 = 10; toplamın 18 olması için birler basamağı 8 olmalı → 738.
• Ayşe: iki basamaklı en büyük sayı 99; 5 ya da 0 ile biten en büyüğü 95.
• Ceren: iki basamaklı en büyük çift sayı 98.
• Ali: 100 ve 104, 4’e bölünür ama rakamları toplamı 1 ve 5’tir; 108’de son iki basamak 08 ve 1 + 0 + 8 = 9 → 108.

a) Yusuf ve Ali’nin akıllarından tuttukları sayıların farkının 9 ile kalansız bölünüp bölünemeyeceğini belirleyiniz.

Cevap: Bölünür. Fark 630’dur ve rakamları toplamı 9’dur.

• 738 − 108 = 630
• 6 + 3 + 0 = 9 → 9’un katı

b) Ceren ve Ayşe’nin akıllarından tuttukları sayıların toplamının 6 ile kalansız bölünüp bölünemeyeceğini belirleyiniz.

Cevap: Bölünmez. Toplam 193’tür ve tek sayıdır.

• 98 + 95 = 193
• Birler basamağı 3 olduğu için 2’ye bölünmez; 2’ye bölünmeyen sayı 6’ya da bölünmez.

c) Ceren, Ayşe ve Yusuf’un akıllarından tuttukları sayıların toplamının 10 ile bölümünden kalan sayıyı belirleyiniz.

Cevap: Kalan 1’dir.

• 98 + 95 + 738 = 931
• 931’in birler basamağı 1 olduğundan 10’a bölündüğünde 1 kalır.

ç) Bölme işlemi yapmadan kalansız bölünebilme kriterlerinin problemin çözümünde sağladığı kullanışlılığını değerlendiriniz.

Cevap: Kriterler sayesinde hiç bölme yapmadım; sayıların rakamlarına bakarak hem tutulan sayıları buldum hem de üç soruyu kısa sürede cevapladım.

• Örneğin 630’u 9’a bölmek yerine 6 + 3 + 0 toplamına, 931’i 10’a bölmek yerine birler basamağına baktım. Böylece işlem hatası yapma olasılığım da azaldı.