6. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 43-44-45-46-47 Cevapları 1. Kitap

1) Aşağıdaki çarpan ağacı yöntemi ile ilgili örneği inceleyiniz. Verilen doğal sayıların asal çarpanlarını belirleyiniz ve altlarındaki boşluklara yazınız. (45, 52, 72)

Cevap: 45’in asal çarpanları 3 ve 5, 52’nin asal çarpanları 2 ve 13, 72’nin asal çarpanları 2 ve 3’tür.

• 45’i 3 × 15 diye ayırdım. 15 asal olmadığı için onu da 3 × 5 yaptım. Dalların ucunda 3, 3 ve 5 kaldı.
• 52’yi 2 × 26, 26’yı da 2 × 13 diye ayırdım. Uçlarda 2, 2 ve 13 var.
• 72’yi 2 × 36, 36’yı 2 × 18, 18’i 2 × 9, 9’u da 3 × 3 diye ayırdım. Uçlarda yalnızca 2’ler ve 3’ler kaldı.

2) Aşağıdaki asal çarpan algoritması yöntemi ile ilgili örneği inceleyiniz. Verilen doğal sayıların asal çarpanlarını belirleyiniz ve altlarındaki boşluklara yazınız. (48, 66, 84)

Cevap: 48’in asal çarpanları 2 ve 3; 66’nın asal çarpanları 2, 3 ve 11; 84’ün asal çarpanları 2, 3 ve 7’dir.

• 48’i art arda 2’ye böldüm: 48, 24, 12, 6, 3. Sonra 3’ü 3’e böldüm ve 1’e ulaştım.
• 66’yı önce 2’ye böldüm (33), sonra 3’e (11), en son 11’e böldüm.
• 84’ü iki kez 2’ye böldüm (42, 21), sonra 3’e (7), en son 7’ye böldüm.

3) Aşağıdaki çarpan ağacı yöntemi ile ilgili örneği inceleyiniz. Verilen doğal sayıları asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazınız. (36, 70, 90)

Cevap: 36 = 2 × 2 × 3 × 3, 70 = 2 × 5 × 7, 90 = 2 × 3 × 3 × 5

• 36 → 2 × 18 → 2 × 9 → 3 × 3. Uçtaki sayıları çarpım olarak yazdım.
• 70 → 2 × 35 → 5 × 7
• 90 → 2 × 45 → 3 × 15 → 3 × 5
• Kontrol ettim: 2 × 2 × 3 × 3 = 36, 2 × 5 × 7 = 70, 2 × 3 × 3 × 5 = 90

4) Aşağıdaki asal çarpan algoritması yöntemi ile ilgili örneği inceleyip verilen doğal sayıları asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazınız. (56, 98, 150)

Cevap: 56 = 2 × 2 × 2 × 7, 98 = 2 × 7 × 7, 150 = 2 × 3 × 5 × 5

• 56’yı üç kez 2’ye böldüm (28, 14, 7), sonra 7’ye böldüm.
• 98’i 2’ye böldüm (49), 49’u iki kez 7’ye böldüm.
• 150’yi 2’ye (75), 3’e (25) ve iki kez 5’e böldüm.
• Sağ sütundaki sayıları yan yana çarpım olarak yazdım.

5) 1’den büyük doğal sayılardan hangileri asal sayıların çarpımı şeklinde yazılabilir? Düşüncelerinizi arkadaşlarınızla paylaşarak tartışınız.

Cevap: Asal olmayan bütün sayılar (4, 6, 8, 9, 10, 12 …) asal sayıların çarpımı şeklinde yazılabilir.

• Asal olmayan bir sayıyı ağaçla ya da algoritmayla böldükçe sonunda hep asal sayılara ulaşıyoruz: 12 = 2 × 2 × 3 gibi.
• Asal sayılar (2, 3, 5, 7 …) ise daha küçük asal sayılara ayrılamaz; onların tek asal çarpanı kendisidir.

5■ iki basamaklı bir asal sayıdır. ■’nin yerine yazılabilecek doğal sayıların toplamını bulunuz.

Cevap: ■ yerine 3 ya da 9 yazılabilir; toplamları 12’dir.

• 50, 52, 54, 56, 58 çift olduğu için asal değildir.
• Tek olanlara baktım: 51 = 3 × 17, 55 = 5 × 11, 57 = 3 × 19. Bunlar da asal değil.
• 53 ve 59’u 2, 3, 5 ve 7’ye bölmeyi denedim; hiçbiri kalansız bölmedi. İkisi de asal.
• 3 + 9 = 12

77 doğal sayısının en büyük asal çarpanı ile en küçük asal çarpanı arasındaki farkı bulunuz.

Cevap: Fark 4’tür.

• 77 çift değil, rakamları toplamı 14 olduğu için 3’e de bölünmüyor, sonu 0 ya da 5 değil. 7’yi denedim: 77 ÷ 7 = 11.
• 77 = 7 × 11. İki çarpan da asal; küçüğü 7, büyüğü 11.
• 11 − 7 = 4

Yandaki asal çarpan algoritmasında sembollerin temsil ettiği doğal sayıları bulunuz. (Sol sütunda yukarıdan aşağıya kare, üçgen, daire, altıgen ve 1; sağ sütunda 2, 2, 3, 5)

Cevap: Altıgen 5, daire 15, üçgen 30, kare 60’tır.

• Algoritmayı aşağıdan yukarıya doğru okudum; her satırda alttaki sayıyı yanındaki bölenle çarptım.
• Altıgen: 1 × 5 = 5
• Daire: 5 × 3 = 15
• Üçgen: 15 × 2 = 30
• Kare: 30 × 2 = 60

Yandaki çarpan ağacında sembollerin temsil ettiği doğal sayıların toplamını bulunuz. (Üçgenin dalları: 2 × altıgen; altıgenin dalları: 2 × 5)

Cevap: Toplam 30’dur (üçgen 20, altıgen 10).

• En alttaki daldan başladım: altıgen = 2 × 5 = 10
• Üçgen = 2 × 10 = 20
• 20 + 10 = 30

1) Oyunun sonunda en fazla puana ulaşan öğrenciyi belirleyiniz. (Şevval 30, Elif 47, Ömer 57, Hatice 75. Numarası asal olan, numarasının rakamlarını; asal olmayan, numarasının asal çarpanlarını toplar.)

Cevap: En fazla puanı 22 puanla Ömer alır.

• Şevval: 30 = 2 × 3 × 5, asal değil. Puanı 2 + 3 + 5 = 10
• Elif: 47 asal sayı. Puanı 4 + 7 = 11
• Ömer: 57 = 3 × 19, asal değil. Puanı 3 + 19 = 22
• Hatice: 75 = 3 × 5 × 5, asal değil. Asal çarpanları 3 ve 5; puanı 3 + 5 = 8

2) Oyuna okul numarası 68 olan bir öğrenci katılırsa oyunun sonunda en fazla puan alan öğrenci değişir mi? Fikirlerinizi arkadaşlarınızla paylaşarak tartışınız.

Cevap: Değişmez; en fazla puan yine Ömer’de kalır.

• 68 = 2 × 2 × 17, asal değil. Asal çarpanları 2 ve 17’dir.
• Yeni öğrencinin puanı 2 + 17 = 19 olur.
• 19, Ömer’in 22 puanından küçük.

Erathosthenes (Eratosten) Kalburu Tasarımı: Bu çalışmada Erathosthenes’in hayatı ve çalışmaları ile ilgili araştırma yaparak ulaştığınız bilgileri panoda sergilemeniz ve “Erathosthenes Kalburu” tasarımı yapmanız beklenmektedir.

Cevap: Örnek pano yazısı ve tasarım planı aşağıdadır.

• Eratosthenes, milattan önce 3. yüzyılda yaşamış bir bilgindir. Matematik, coğrafya ve gök bilimiyle uğraştı, İskenderiye Kütüphanesi’ni yönetti. Dünya’nın çevresini gölge boylarından yararlanarak hesaplamasıyla da tanınır.
• Kalbur, asal sayıları ayıklama yöntemidir: Sayılar sırayla yazılır, 1 çizilir. 2 bırakılıp 2’nin öbür katları, sonra 3 bırakılıp 3’ün katları, ardından 5’in ve 7’nin katları elenir. 100’e kadar olan tabloda elenmeden kalan 25 sayı asaldır.
• Tasarım için 10 × 10’luk bir karton tablo hazırladım. Her asalın katlarını ayrı renkte kapakla kapattım; kapaklar kapanınca açıkta yalnızca asal sayılar kalıyor.