7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 204-205-206-207-208 Cevapları 1. Kitap

1) Nokta, doğru parçası ve çokgenlerin verilen doğrulara göre yansıma dönüşümü altındaki görüntülerini nasıl çizebileceğinizi arkadaşlarınızla tartışınız.

Cevap: İşin tamamı tek bir noktayı yansıtmaya dayanır: noktadan doğruya dikme indirilir, dikme aynı uzunlukta karşı tarafa uzatılır.

• Nokta: Gönyenin dik kenarlarından birini doğruya yaslayıp öbür kenarı noktaya getirdim, dikmeyi çizdim. Noktanın doğruya uzaklığını cetvelle ölçüp dikmenin öbür yanına işaretledim.
• Doğru parçası: İki ucunu ayrı ayrı yansıtıp görüntü noktalarını birleştirdim.
• Çokgen: Her köşeyi yansıtıp görüntüleri çokgendeki sırayla birleştirdim. Doğrunun üzerindeki köşeye dokunmadım.
• Kareli ya da noktalı zeminde cetvel yerine birim sayılabilir.

2) Noktanın, doğru parçasının ve çokgenlerin verilen doğrulara göre yansıma dönüşümü altındaki görüntülerini gönye ve cetvel kullanarak uygun yerlere çiziniz.

Cevap: Altı görselin görüntüleri aşağıdaki gibi çizilir.

• a) Doğru, noktalı zeminde çapraz gidiyor. M noktası sağ alt köşede; görüntüsü M′ en üst sıranın soldan ikinci noktası olur. M ile M′ arasındaki çapraz yolun tam ortası doğrunun üzerindedir.
• b) KL doğru parçası yatay doğrunun altında. K′L′ doğrunun üstünde, doğruya aynı uzaklıkta ve KL ile aynı boyda çizilir.
• c) Üçgenin tabanı doğrunun üzerinde; taban köşeleri yerinde kalır, yalnızca tepe köşesi doğrunun altına geçer. Üçgenle görüntüsü birleşince bir dörtgen oluşur.
• ç) Dörtgen dikey doğrunun solunda. Görüntüsü sağda oluşur; doğruya yakın olan kısa kenar görüntüde de doğruya yakın kalır.
• d) Doğru, kareli zeminin sol alt köşesinden sağ üst köşesine gidiyor. Beşgenin köşeleri sol alt köşeden “sağa, yukarı” sayılırsa (6, 3), (8, 4), (9, 2), (8, 1), (6, 1); görüntünün köşeleri (3, 6), (4, 8), (2, 9), (1, 8), (1, 6) olur.
• e) Doğru eğik olduğu için her köşeden gönyeyle dikme indirdim, uzaklığı cetvelle ölçüp öbür tarafa taşıdım. Görüntü doğrunun sağ alt yanında oluştu.

3) Görsellerde verilen doğruların üzerine bir simetri aynası veya asetat kâğıdı yerleştirerek çizimlerinizin doğru olup olmadığını kontrol ediniz. Hatalı çiziminiz varsa hatanın ne olduğunu arkadaşlarınızla tartışınız.

Cevap: Aynayı doğrunun üzerine dik tutunca şeklin aynadaki görüntüsü çizdiğim şeklin tam üstüne düştü; çizimlerim doğru.

• Asetat kâğıdıyla da denedim: şekli kâğıda kopyalayıp kâğıdı doğru boyunca çevirince kopya, çizdiğim görüntüyle çakıştı.
• Sınıfta en çok rastlanan hata eğik doğrularda oldu: uzaklık, doğruya dik değil de yatay ya da dikey ölçülünce görüntü kayıyor.
• İkinci hata, görüntü köşelerini yanlış sırayla birleştirmek.

4) Geometrik bir şekil ile yansıma dönüşümü altındaki görüntüsünün birbirlerine karşılık gelen noktalarını (örneğin karşılıklı köşe noktalar) cetvel ve gönye kullanarak birleştiriniz. Elde ettiğiniz doğru parçaları ile simetri doğrusu arasındaki ilişkiyi uygun araçlardan yararlanarak açıklayınız.

Cevap: Simetri doğrusu bu doğru parçalarının hepsini dik keser ve tam ortalarından geçer.

• Gönyeyi kesişme noktalarına koydum: her birinde açı 90° çıktı.
• Cetvelle doğrunun iki yanında kalan parçaları ölçtüm: uzunluklar eşit.
• Hepsi aynı doğruya dik olduğundan bu doğru parçaları birbirine paralel.

5) Görsellerdeki geometrik şekiller ile yansıma dönüşümü altında oluşturduğunuz görüntülerinin özelliklerini karşılaştırınız.

Cevap: Şekil ile görüntüsü eştir; değişen yalnızca yeri ve yönüdür.

• Kenar uzunlukları, açı ölçüleri ve alan aynı kalıyor.
• Görüntü doğrunun öbür yanında ve ayna görüntüsü gibi ters dönük. e şıkkındaki üçgenin sivri ucu sola bakarken görüntüsünün sivri ucu aşağıya bakıyor.

Aşağıdaki geometrik şekillerden hangilerinin doğruya göre simetrik olduğunu cetvel ve gönye kullanarak belirleyiniz. (İkizkenar Üçgen, Çeşitkenar Üçgen, Düzgün Beşgen, Yarım Daire, Paralelkenar) Buna göre simetrik olan şekil veya şekillerin simetri doğrularını bu şekillerin üzerine çiziniz. Birden fazla simetri doğrusuna sahip olan bir şekil olup olmadığını belirleyiniz. Çizdiğiniz doğruların neden bu şekillere ait simetri doğrusu olduklarını matematiksel gerekçelerle açıklayınız.

Cevap: İkizkenar üçgenin 1, düzgün beşgenin 5, yarım dairenin 1 simetri doğrusu vardır; çeşitkenar üçgenin ve paralelkenarın simetri doğrusu yoktur. Birden fazla simetri doğrusu olan şekil düzgün beşgendir.

• İkizkenar üçgen: Tepe köşesini tabanın orta noktasına birleştirdim. Bu doğru tabana dik; taban köşeleri ona eşit uzaklıkta, eş kenarlar da birbirinin üstüne katlanıyor.
• Çeşitkenar üçgen: Üç kenarı da farklı uzunlukta. Hangi köşeden doğru çizsem iki yanda farklı uzunlukta kenarlar kalıyor.
• Düzgün beşgen: Her köşeden karşı kenarın orta noktasına bir doğru çizdim. Beş doğrunun hepsi karşı kenarı dik ortalıyor ve aynı noktada kesişiyor.
• Yarım daire: Çapın orta noktasından çapa dik çizdiğim doğru, yayı iki eş parçaya bölüyor.
• Paralelkenar: Köşegenlerini ve kenar orta noktalarını birleştiren doğruları denedim; hiçbirinde karşılıklı köşeleri birleştiren doğru parçası o doğruya dik çıkmadı.

1) Görsellerdeki birbirine eş şekillerin bir doğruya göre simetrik şekiller olup olmadıklarını arkadaşlarınızla tartışınız. Düşüncelerinizi gerekçeleriyle açıklayınız.

Cevap: Eş dörtgenler (kareler) bir doğruya göre simetriktir, eş üçgenler simetrik değildir.

• Kareler: Simetri aynasını iki karenin arasına eğik tutunca soldaki karenin görüntüsü sağdaki karenin tam üstüne geldi.
• Üçgenler: Aynayı hangi eğimle tutarsam tutayım görüntü öbür üçgenin üstüne oturmadı; hep biraz kaymış kaldı.

2) Görsellerdeki birbirlerine eş şekillerin karşılıklı köşelerini birleştiren doğru parçalarını çiziniz. Doğru parçaları arasındaki ilişkiyi inceleyerek eş şekillerin arasında bir simetri doğrusunun olup olamayacağını açıklayınız.

Cevap: Karelerde dört doğru parçası birbirine paraleldir ve orta noktaları aynı doğrunun üzerindedir: simetri doğrusu vardır. Üçgenlerde üç doğru parçası paralel değildir: simetri doğrusu olamaz.

• Üçgenlerde karşılıklı köşeleri kenar uzunluklarına bakarak eşleştirdim (en uzun kenarın uçları en uzun kenarın uçlarıyla). Çizdiğim üç doğru parçasından biri öbür ikisinden belirgin biçimde daha dik duruyor.
• Karelerde dört doğru parçası aynı eğimde. Her birinin orta noktasını işaretledim; dört nokta tek bir doğru üzerinde sıralandı.

3) Görsellerde bir doğruya göre simetrik olduğunu düşündüğünüz eş şekiller var ise bu şekillerin arasındaki simetri doğrusunu gönye ve cetvel kullanarak nasıl çizeceğinizi açıklayınız. Çiziminizi yapınız ve simetri aynası veya asetat kâğıdı yardımıyla çiziminizin doğruluğunu kontrol ediniz.

Cevap: Simetrik olan şekiller karelerdir; simetri doğrusu, karşılıklı köşeleri birleştiren doğru parçalarının orta noktalarından geçer.

• Karşılıklı iki köşe çiftini cetvelle birleştirdim ve iki doğru parçasının orta noktalarını ölçerek buldum.
• Bu iki orta noktadan geçen doğruyu çizdim. Gönyeyle baktım: doğru, dört doğru parçasını da dik kesiyor.
• Aynayı bu doğruya koyunca soldaki karenin görüntüsü sağdaki kareyle çakıştı. Üçgenler simetrik olmadığı için onlara doğru çizilmez.

4) Bir şekil ile şeklin yansıma dönüşümü altındaki görüntüsünün karşılıklı noktalarını birleştiren doğru parçaları her zaman simetri doğrusuna dik midir? Simetri doğrusu bu doğru parçalarını her zaman ortalar mı? Tartışınız. Ulaştığınız sonuçları yazınız.

Cevap: Evet, her zaman diktir ve simetri doğrusu bu doğru parçalarını her zaman ortalar.

• Görüntü zaten böyle bulunuyor: noktadan doğruya dikme iniyor, dikme aynı boyda karşıya uzatılıyor.
• Bunun tersi de işe yarar: doğru parçalarından biri bile dik değilse ya da ortalanmıyorsa iki şekil o doğruya göre simetrik değildir. Sayfanın altındaki “Düşününüz” notunun cevabı da budur: doğru parçaları paralel değilse şekiller simetrik olamaz.

a) Görsellerdeki halı ve kilim desenlerinin değişiklik göstermesinin sebebi ne olabilir? Düşüncelerinizi arkadaşlarınızla tartışınız.

Cevap: Her yörenin kültürü, inanışları, doğası ve dokuma geleneği farklı olduğu için desenler de farklıdır.

• Dokuyan kişi kendi yöresinde anlamı olan motifleri seçer; sevincini, dileğini motiflerle anlatır.
• İplik boyamada kullanılan bitkiler yöreden yöreye değişir, bu da renkleri değiştirir.
• Desenler anneden kıza, ustadan çırağa geçerken her yörede kendine özgü bir biçim alır.

b) Görsellerdeki halı ve kilim desenlerini yansıma dönüşümü açısından inceleyerek karşılaştırınız ve siz de defterinize bir desen oluşturunuz.

Cevap: İki kilimin deseni de ortasından geçen dikey ve yatay doğrulara göre simetriktir; birincide üç büyük motif yan yana, ikincide küçük motifler sıra sıra yinelenir.

• Görsel 1: Ortadaki büyük motifin içinden geçen dikey doğru, soldaki motifi sağdakinin üstüne katlar. Yatay orta doğru da üst yarıyı alt yarıya eşler.
• Görsel 2: Baklava biçimli motifler satır satır dizilmiş; desenin sağı solunun, üstü altının ayna görüntüsü.
• Kendi desenim (örnek): Kareli deftere yatay bir doğru çizdim. Doğrunun üstüne basamak basamak yükselen bir üçgen çizdim, her köşeyi kare sayarak doğrunun altına yansıttım. Oluşan motifi yan yana dört kez yineledim.

1) Görsellerde verilen üçgenlerin yansıma dönüşümü altındaki görüntülerini koyu renkli kenarlarına göre cetvel ve gönye yardımıyla çiziniz.

Cevap: Her üçgende koyu kenarın uçları yerinde kalır, yalnızca karşıdaki köşe kenarın öbür yanına geçer: A′, E′, H′, J′, O′ ve P′ noktaları oluşur.

• Karşı köşeden koyu kenara gönyeyle dikme indirdim (Şekil 3’te dikme kenarın uzantısına değil, kenarın kendisine iniyor).
• Dikmenin boyunu cetvelle ölçüp kenarın öbür tarafına taşıdım.
• Bulduğum noktayı koyu kenarın iki ucuyla birleştirdim.

2) Üçgenlerin yansıma dönüşümü altındaki görüntülerini çizdikten sonra oluşan dörtgenlerin kenar ve açı özelliklerini tabloda uygun yerlere yazınız ve gerekçelerinizi arkadaşlarınızla tartışınız.

Cevap: Şekil 1, 3 ve 6’da deltoid; Şekil 2’de kare; Şekil 4 ve 5’te eşkenar dörtgen oluşur.

• Şekil 1: AB = A′B ve AC = A′C, ama AB ile AC eşit değil. İkişer komşu kenarı eş: deltoid. A açısı 90° olduğundan A′ açısı da 90°.
• Şekil 2: Dik kenarlar eş olduğundan DE = EF = FE′ = E′D. E ve E′ açıları 90°, D ve F açıları 45° + 45° = 90°: kare.
• Şekil 3: GH = GH′ ve IH = IH′; GH ile IH eşit değil: deltoid. H ile H′ açıları eş.
• Şekil 4: Koyu kenar ikizkenar üçgenin tabanı. JK = JL olduğundan dört kenar da eş: eşkenar dörtgen. Karşılıklı açılar eş.
• Şekil 5: Eşkenar üçgenin bütün kenarları eş, dörtgenin dört kenarı da eş: eşkenar dörtgen. O ve O′ açıları 60°, M ve N açıları 60° + 60° = 120°.
• Şekil 6: PR = P′R ve PS = P′S; PR ile PS eşit değil: deltoid. P ile P′ açıları eş.

3) Şekil 1 ve Şekil 2’deki üçgenlerin renkli kenarları dışındaki bir kenarına göre yansıma dönüşümü altındaki görüntüleri çizildiğinde dörtgenden farklı hangi çokgenlerin oluşturulabileceğini yazınız. Bu çokgenlerin özelliklerini gerekçeleriyle açıklayınız.

Cevap: Üçgen oluşur: Şekil 1’den ikizkenar üçgen, Şekil 2’den ikizkenar dik üçgen.

• İki şekil de dik üçgen; renkli kenar dışındaki kenarlar dik kenarlar.
• Şekil 1’i AC kenarına göre yansıttım: B′ noktası, BA’nın A’dan öteye uzantısına düştü. B, A, B′ aynı doğru üzerinde olduğundan A artık köşe değil; şekil BCB′ üçgeni. CB = CB′ olduğu için ikizkenar.
• Şekil 2’yi DE kenarına göre yansıttım: DFF′ üçgeni oluştu. DF = DF′ ve D açısı 45° + 45° = 90°: ikizkenar dik üçgen.