7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 211-212-213-214 Cevapları 1. Kitap

Aşağıdaki birinci görselde bir doğruya göre simetrik olduğu bilinen iki doğru parçası ve ikinci görselde bir A açısı verilmiştir. Buna göre birinci görseldeki simetri doğrusunu ve ikinci görseldeki açıya ait simetri doğrusunu oluşturmak için cetvel, gönye ve pergeli nasıl kullanabileceğinizi açıklayınız. Simetri doğrularını oluştururken dikkate aldığınız kriterleri yazınız.

Cevap: Birinci görselde AA′ ve BB′ doğru parçalarının orta noktalarından geçen doğru, ikinci görselde A köşesinden çıkıp açıyı iki eş açıya bölen ışın simetri doğrusudur.

• Birinci görsel: A ile A′ noktasını, B ile B′ noktasını cetvelle birleştirdim. İki doğru parçasının orta noktalarını ölçerek işaretledim ve bu iki noktadan geçen doğruyu çizdim. Gönyeyle baktım: doğru, AA′ ve BB′ parçalarına dik.
• İkinci görsel: Pergeli A köşesine batırıp iki kolu kesen bir yay çizdim; kesim noktalarına K ve L dedim. KL doğru parçasını çizip orta noktasını buldum, A’yı bu noktayla birleştirdim.
• Kriterlerim: Simetri doğrusu, karşılıklı noktaları birleştiren doğru parçalarına dik olmalı ve onları ortalamalı. Açıda ise köşeden geçmeli ve iki yanında eş açılar bırakmalı.

1) ABC üçgeni ile DEFG eşkenar dörtgeninin simetri doğrularının nasıl oluşturulacağını şekillerin üzerine çizerek açıklayınız.

Cevap: ABC üçgeninin simetri doğrusu, iki çemberin kesişim noktalarından (C ve alttaki kesişim) geçen doğrudur. DEFG eşkenar dörtgeninin iki simetri doğrusu vardır: EG doğrusu ve DF doğrusu.

• ABC üçgeni: Çemberler eş olduğundan CA = CB; üçgen ikizkenar. C’yi çemberlerin alttaki kesişim noktasıyla birleştirdim; bu doğru AB’yi ortasından ve dik kesiyor.
• DEFG eşkenar dörtgeni: Dört kenar da çemberlerin yarıçapına eşit. Köşegenleri çizdim; EG, DF’yi; DF de EG’yi dik ortalıyor.

2) Kerim hatırladığı inşa çalışmalarından yola çıkarak bir doğru parçasına ait simetri doğrusunu yalnızca pergel ve ölçüsüz cetvel kullanarak nasıl inşa edebilirdi? Kerim’in inşa adımlarını arkadaşlarınızla tartışınız ve ulaştığınız sonuçları yazınız.

Cevap: Doğru parçasının iki ucunu merkez alıp eş iki çember çizer, çemberlerin kesiştiği iki noktayı cetvelle birleştirirdi.

• Pergeli doğru parçasının yarısından fazla açar.
• Açıklığı bozmadan önce bir uca, sonra öbür uca batırıp iki çember çizer.
• Çemberler doğru parçasının bir üstünde, bir altında kesişir. Bu iki noktadan geçen doğru aranan simetri doğrusudur.

3) Bir doğru parçasına ait simetri doğrusunun inşası için belirlediğiniz adımları yalnızca pergel ve ölçüsüz cetvel kullanarak aşağıdaki AB doğru parçası üzerinde uygulayınız ve ilgili soruları cevaplayınız.

Cevap: A ve B merkezli eş iki çember çizdim; çemberler K ve L noktalarında kesişti. KL doğrusu AB’nin simetri doğrusudur.

• Pergeli AB’nin yarısından biraz fazla açtım.
• Aynı açıklıkla A merkezli ve B merkezli çemberleri çizdim.
• Üstteki kesişime K, alttakine L dedim ve ikisini cetvelle birleştirip uzattım.

a) Uyguladığınız inşa adımlarında çemberlerin kesişip kesişmediğini ve yarıçap uzunluklarının eşit olup olmadığını açıklayınız.

Cevap: Çemberler iki noktada (K ve L) kesişti; pergelin açıklığını hiç değiştirmediğim için yarıçapları eşit.

b) Çizdiğiniz çemberlerin yarıçap uzunlukları AB doğru parçasının uzunluğundan farklı olabilir mi? Çizdiğiniz çemberleri sınıf arkadaşlarınızın çizdiği çemberlerle karşılaştırarak ulaştığınız sonuçları yazınız.

Cevap: Olabilir; yarıçap AB’den kısa da uzun da seçilebilir, yeter ki iki çemberde aynı ve AB’nin yarısından büyük olsun.

• Ben yarıçapı AB’den kısa aldım, sıra arkadaşım AB’den uzun aldı. Onun K ve L noktaları AB’den daha uzakta oluştu.
• İki çizimi üst üste koyduk: kesişim noktaları farklı ama hepsi aynı doğru üzerinde. Simetri doğrusu değişmedi.

c) Çizdiğiniz simetri doğrusu, AB doğru parçasını dik ortalar mı? Gerekçeleriyle yazınız.

Cevap: Evet, dik ortalar.

• KA, KB, LA ve LB uzunluklarının dördü de yarıçapa eşit. Bu yüzden AKBL bir eşkenar dörtgen.
• AB ile KL bu eşkenar dörtgenin köşegenleri; eşkenar dörtgende köşegenler birbirini dik ortalar.

1) Bir açının köşesine eşit uzaklıkta olan, açının kolları üzerindeki iki noktayı belirleyebilmek için nasıl bir çizim yaparsınız? Açıklayınız.

Cevap: Pergelin sivri ucunu köşeye koyar, iki kolu da kesen tek bir yay çizerim; yayın kolları kestiği iki nokta köşeye eşit uzaklıktadır.

2) Aşağıdaki A açısının köşesine eşit uzaklıkta olan iki noktayı açının kolları üzerinde belirleyip bu noktaları K ve L olarak isimlendiriniz. Belirlediğiniz noktaları birleştiren KL doğru parçasına ait simetri doğrusunun inşası için bir sonraki adımın ne olabileceğini tartışınız.

Cevap: A merkezli yayın üst kolu kestiği noktaya K, alt kolu kestiği noktaya L dedim. Sonraki adım, K ve L merkezli eş iki çember çizmektir.

• Bundan sonrası 212. sayfada AB için yaptığımız inşanın aynısı: K ile L, AB’nin uçlarının yerini alıyor.
• Pergel KL’nin yarısından fazla açılmalı ki çemberler kesişsin.

3) Açının kolları üzerinde belirlediğiniz noktaları birleştiren KL doğru parçasını çizerek bu doğru parçasına ait orta dikmeyi yalnızca pergel ve ölçüsüz cetvel yardımıyla inşa ediniz.

Cevap: K ve L merkezli eş iki çember çizdim; çemberlerin iki kesişim noktasından geçen doğru KL’nin orta dikmesidir ve A köşesinden geçer.

• K ile L’yi cetvelle birleştirdim.
• Pergeli KL’nin yarısından fazla açıp aynı açıklıkla K merkezli ve L merkezli çemberleri çizdim.
• Çemberlerin açının iç tarafındaki uzak kesişim noktasına E dedim; A’dan E’ye giden ışını çizdim. Çemberlerin öbür kesişim noktası da bu ışının üzerinde kaldı.

4) İnşa ettiğiniz orta dikme ile A açısına ait simetri doğrusu arasında nasıl bir ilişki vardır? Açıklayınız.

Cevap: İkisi aynı doğrudur: KL’nin orta dikmesi, A açısının simetri doğrusudur.

• Kâğıdı bu doğru boyunca katlayınca K noktası L’nin, üst kol da alt kolun üstüne geliyor.
• A köşesi doğrunun üzerinde olduğu için yerinde kalıyor.

5) Çizdiğiniz çemberlerin yarıçap uzunlukları, KL doğru parçasının uzunluğundan farklı olabilir mi? Çizdiğiniz çemberleri sınıf arkadaşlarınızın çizdiği çemberlerle karşılaştırarak ulaştığınız sonuçları yazınız.

Cevap: Olabilir; iki çemberin yarıçapı birbirine eşit ve KL’nin yarısından büyük olduğu sürece sonuç değişmez.

• Ben yarıçapı KL’den biraz uzun aldım. Arkadaşım çok daha büyük açtı; onun E noktası köşeden daha uzakta oluştu.
• İkimizin E noktası da A’dan çıkan aynı ışının üzerindeydi.

6) A açısına ait simetri doğrusunun oluşturduğu iki yeni açı arasında nasıl bir ilişki olduğunu gerekçeleriyle açıklayınız.

Cevap: İki yeni açı birbirine eştir; her biri A açısının yarısıdır.

• Simetri doğrusuna göre açılardan biri öbürünün görüntüsü. Yansımada şekil ile görüntüsü eş olduğundan iki açının ölçüsü aynı.
• Açıölçerle de ölçtüm: iki yanda aynı değeri okudum.