7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 86-87-88-89 Cevapları 1. Kitap

Özlem [(−2/9) + (+1/3)] + (+2/9) işleminin sonucunu bulabilmek için aşağıdaki çözüm adımlarını gerçekleştirmiştir. Özlem’in her bir adımda kullandığı işlem özelliklerini verilen boşluklara yazınız. (Adımlar: [(+1/3) + (−2/9)] + (+2/9) → (+1/3) + [(−2/9) + (+2/9)] → (+1/3) + 0 → (+1/3))

Cevap: Sırasıyla değişme özelliği, birleşme özelliği, ters eleman özelliği, etkisiz eleman özelliği.

• 1. adım: Köşeli parantezin içindeki iki sayı yer değiştirmiş: değişme
• 2. adım: Köşeli parantez son iki sayıya kaymış: birleşme
• 3. adım: (−2/9) + (+2/9) yerine 0 yazılmış: ters eleman
• 4. adım: (+1/3) + 0 yerine (+1/3) yazılmış: etkisiz eleman

Yandaki kartların her birinin ön yüzünde ve arka yüzünde yazan rasyonel sayıların toplamı toplama işleminin etkisiz elemanına eşittir. Buna göre kartların arka yüzlerinde yazan rasyonel sayıların toplamını bulunuz. Toplama işlemini daha kolay yapabilmek için hangi işlem özelliklerini kullanabileceğinizi açıklayınız. (Ön yüzler: 7/2, 5, −4, −9/2, 0)

Cevap: Arka yüzlerde −7/2, −5, 4, 9/2 ve 0 yazar; toplamları 0’dır. İşlemi kolaylaştırmak için değişme ve birleşme özelliklerini kullandım.

• Etkisiz eleman 0 olduğu için her kartın arkasında ön yüzdeki sayının ters işaretlisi var.
• Paydası 2 olanları bir araya getirdim: (−7/2) + 9/2 = 2/2 = 1
• Tam sayıları bir araya getirdim: (−5) + 4 = −1
• 1 + (−1) + 0 = 0

a) Dalın toplam uzunluğunu bulabilmek için gerekli olan niceliklerin neler olduğunu ve bu niceliklerin nasıl kullanılacağını açıklayınız.

Cevap: Gerekli nicelikler birinci dalın uzunluğu (1 1/3 m), ikinci dalın ondan fazlası (3/7 m) ve üst üste binen kısımdır (2/5 m). İki dalın uzunluğu toplanır, üst üste binen kısım bir kez çıkarılır.

• İkinci dalın uzunluğu verilmemiş; önce onu bulmak gerekiyor: 1 1/3 + 3/7

b) Dal parçalarını temsil eden modeller çiziniz ve her bir dalın uzunluğunu model üzerinde belirtiniz. Bu parçalar birleştirildiğinde yeni dalı temsil eden farklı bir bir model çiziniz. Toplam uzunluğun nasıl bulunacağını model üzerinden açıklayarak bir çözüm stratejisi belirleyiniz.

Cevap: Dalları iki şeritle gösterdim: biri 4/3 m, öteki 37/21 m. Şeritlerin uçlarını 2/5 m üst üste bindirdim. Stratejim: iki uzunluğu toplayıp bindirilen kısmı çıkarmak.

• Birinci dal: 1 1/3 = 4/3 m
• İkinci dal: 4/3 + 3/7 = 28/21 + 9/21 = 37/21 m
• Modelde bindirilen 2/5 m’lik bölüm iki şeritte de var; toplamda iki kez sayılmasın diye bir kez çıkarılır.

c) Belirlediğiniz çözüm stratejisine uygun işlemleri yazınız ve problemi çözünüz.

Cevap: Birleştirilen dalın uzunluğu 283/105 m, yani 2 73/105 metredir.

• 4/3 + 37/21 − 2/5 işleminde ortak payda 105
• 140/105 + 185/105 − 42/105 = 283/105
• 283 = 2 × 105 + 73 olduğu için 2 73/105 m (3 metreden biraz kısa)

ç) Problemi farklı çözüm stratejileri kullanarak nasıl çözebileceğinizi arkadaşlarınızla tartışınız. Farklı stratejiler arasından birini seçerek problemi bu strateji ile çözünüz.

Cevap: Önce birinci dalın açıkta kalan kısmını bulup ikinci dalın tamamına ekledim; sonuç yine 283/105 m çıktı.

• Birinci dalın açıkta kalan kısmı: 4/3 − 2/5 = 20/15 − 6/15 = 14/15 m
• 14/15 + 37/21 = 98/105 + 185/105 = 283/105 m

d) İki dal parçası birleştirildiğinde toplam uzunluğun 3 metre olması için dal parçalarının kaç metrelik kısımlarının üst üste gelmesi gerektiğini bulunuz.

Cevap: Dalların 2/21 metrelik kısımları üst üste gelmelidir.

• İki dalın bindirmesiz toplamı: 4/3 + 37/21 = 28/21 + 37/21 = 65/21 m
• 3 m = 63/21 m
• Fazlalık: 65/21 − 63/21 = 2/21 m

a) Köstebeğin yer seviyesinin altındaki 3/25 metrelik aşağı yönlü hareketine karşılık gelen rasyonel sayıyı yazınız.

Cevap: −3/25

• Yer seviyesi 0’dır; aşağı yöndeki hareket negatif sayıyla gösterilir.

b) Köstebeğin her bir dakikadaki 3/25 metrelik aşağı yönlü hareketini yandaki dikey sayı doğrusu üzerinde oklarla gösteriniz.

Cevap: 0’dan başlayıp aşağı doğru 3/25’lik dört ok çizilir. Okların uçları −3/25, −6/25, −9/25 ve −12/25’e gelir.

• Her ok bir dakikayı gösterir ve bir öncekinin bittiği yerden başlar.
• Dördüncü okun ucu köstebeğin son konumudur: −12/25

c) Köstebeğin 4 dakika kazdıktan sonra yer seviyesine göre konumunu bulmak için yapmanız gereken işlemi yazınız ve daha önce öğrendiğiniz kesirlerde çarpma işleminden yararlanarak işlemin sonucunu bulunuz. Bu sonucun işaretini belirlemek için tam sayılarda çarpma kurallarından nasıl yararlandığınızı açıklayınız.

Cevap: 4 · (−3/25) = −12/25. Köstebek yer seviyesinin 12/25 metre altındadır.

• Kesirle doğal sayıyı çarparken sayı payla çarpılır: 4 × 3 = 12, payda 25 kalır.
• İşaret: pozitif bir sayı ile negatif bir sayının çarpımı negatiftir.

ç) Aşağıdaki işlemlerin çarpanlarını inceleyiniz. Bu işlemlerdeki benzerlik ve farklılıkları açıklayınız. Kesirler ve tam sayılarla ilgili daha önce öğrendiğiniz bilgilerden yararlanarak işlemlerin sonuçlarını bulunuz. (4 . 3/25 = ; (−4) . (−3/25) = ; 4 . (−3/25) = ; (−4) . 3/25 =)

Cevap: 4 · 3/25 = 12/25; (−4) · (−3/25) = 12/25; 4 · (−3/25) = −12/25; (−4) · 3/25 = −12/25

• Benzerlik: Dört işlemde de çarpılan sayılar işaretsiz bakınca aynı (4 ve 3/25); bu yüzden sonuçların sıfıra uzaklığı hep 12/25.
• Farklılık: Çarpanların işaretleri değişiyor. İşaretler aynıysa sonuç pozitif, farklıysa negatif çıkıyor.

d) Sabit hızla 5 dakika boyunca kazı yapan köstebeğin son konumunu belirlerken kullanılabilecek iki farklı çözüm yolu aşağıda verilmiştir. Bu çözüm yolları arasındaki farklılıkları açıklayınız ve hangi çözüm yolunun daha kullanışlı olduğunu arkadaşlarınızla tartışınız.

Cevap: İki yol da −3/5 sonucuna varıyor. Fark sadeleştirmenin zamanında: 1. yolda çarpma bittikten sonra, 2. yolda çarpmadan önce sadeleştiriliyor. 2. yol daha kullanışlı.

• 1. yolda önce −15/25 gibi daha büyük sayılar ortaya çıkıyor, sonra 5’e bölünüyor.
• 2. yolda 5 ile 25 baştan sadeleştiği için çarpılacak sayılar küçülüyor; hata yapma olasılığı azalıyor.

e) Sabit hızla 7 1/2 dakika boyunca kazı yapan köstebeğin yer seviyesine göre konumunu ifade edecek işlemi yazınız. Bu işlemin nasıl yapılacağını arkadaşlarınızla tartışınız ve sonucu bulunuz.

Cevap: 7 1/2 · (−3/25) = −9/10. Köstebek yer seviyesinin 9/10 metre altında olur.

• Tam sayılı kesri bileşik kesre çevirdim: 7 1/2 = 15/2
• 15/2 · (−3/25) = −45/50
• Payı ve paydayı 5’e böldüm: −9/10

Aşağıdaki tabloda gerçek yaşam durumları içeren bazı sözel ifadeler ile bu ifadelere karşılık gelen işlemler ve sonuçları verilmiştir. Tablodaki örnekten yola çıkarak boş bırakılan yerleri doldurunuz. (Örnek: a) Alanı 16 m² olan bir halının 3/8’i için 16 . 3/8 = 6. b) Bir bahçenin 4/7’lik bölümünün 3/5’ine çiçek ekilmiştir. Buna göre bahçenin çiçek ekilen bölümü, tamamının kaçta kaçıdır? c) Bir kimyasal karışım kontrollü bir soğutma işlemine alınmıştır. Bu işlem sırasında karışımın sıcaklığı her bir dakikada −5/4 °C değişmektedir. Karışımın sıcaklığı 3/2 dakika boyunca sabit hızla azaltıldığına göre toplam sıcaklık değişimi kaç °C olur? ç) Bir havuzdaki su seviyesi havuzun gideri açıldığında saatte 1/8 metre azalmaktadır. Gider 5/2 saat açık kaldığında su seviyesindeki toplam değişimi ifade eden rasyonel sayı nedir?)

Cevap: b) 4/7 · 3/5 = 12/35 c) 3/2 · (−5/4) = −15/8 ç) 5/2 · (−1/8) = −5/16

• b) “Bölümün bölümü” çarpmadır: 4 × 3 = 12, 7 × 5 = 35. Bahçenin 12/35’ine çiçek ekilmiş.
• c) Süre ile dakikadaki değişimi çarptım: 3 × 5 = 15, 2 × 4 = 8; sıcaklık 15/8 °C düşer.
• ç) Azalma olduğu için saatlik değişim −1/8’dir: 5 × 1 = 5, 2 × 8 = 16; su seviyesi 5/16 metre alçalır.