7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 94-95-96-97 Cevapları 1. Kitap

1) Mustafa Bey yandaki görselde bazı uzunlukları verilen dikdörtgen biçimindeki tarlasının bir kısmına elma ağaçları, kalan kısmına ise domates fideleri dikmiştir. Görseldeki bilgilere göre Mustafa Bey’in dikim yaptığı toplam alanı çarpma işleminin dağılma özelliğinden yararlanarak bulunuz. (Tarlanın bir kenarı 27/4 metre; öbür kenarın elma ağaçlı kısmı 9/2 metre, domates fideli kısmı 10/3 metre.)

Cevap: Mustafa Bey toplam 423/8 metrekare, yani 52 7/8 metrekare alana dikim yapmıştır.

• Tarlanın alanı: 27/4 × (9/2 + 10/3)
• 27/4’ü parantezin içindeki iki sayıya ayrı ayrı dağıttım: 27/4 × 9/2 + 27/4 × 10/3 = 243/8 + 270/12
• 270/12 = 45/2 = 180/8 olduğu için 243/8 + 180/8 = 423/8 = 52 7/8 m²
• Sağlamasını parantezin içini önce toplayarak yaptım: 9/2 + 10/3 = 47/6; 27/4 × 47/6 = 1269/24 = 423/8. Aynı sonuç çıktı.

2) Yandaki kartların her birinin ön yüzünde ve arka yüzünde yazan rasyonel sayıların çarpımı, çarpma işleminin etkisiz elemanına eşittir. Buna göre kartların arka yüzlerinde yazan rasyonel sayıların çarpımını bulunuz. Çarpma işlemini daha kolay yapabilmek için işlem özelliklerinden hangilerini kullanabileceğinizi açıklayınız. (Kartların ön yüzleri: −4/3, 3, 1/8, 2/7, −14)

Cevap: Arka yüzlerdeki sayıların çarpımı 1/2’dir. İşlemi kolaylaştırmak için değişme ve birleşme özelliklerini kullandım.

• Çarpmanın etkisiz elemanı 1’dir. Bir sayıyla çarpımı 1 eden sayı, onun pay ile paydası yer değiştirmiş hâlidir. Arka yüzler: −3/4, 1/3, 8, 7/2 ve −1/14
• Sadeleşen sayıları yan yana getirdim: (−3/4) × 8 = −6 ve 7/2 × (−1/14) = −1/4
• (−6) × 1/3 = −2, sonra (−2) × (−1/4) = 1/2
• Kısa yoldan da bakılabilir: ön yüzlerin çarpımı 2’dir, arka yüzlerin çarpımı bunun tersi olan 1/2 olur.

a) Problemde verilen nicelikleri inceleyiniz ve aralarındaki ilişkileri belirleyiniz. Halının ölçülerini bulmak için bu niceliklerden nasıl yararlanabileceğinizi tartışarak açıklayınız.

Cevap: Halının her kenarı, salonun aynı yöndeki kenarından o yöndeki iki boşluk çıkarılarak bulunur.

• Verilenler: salonun iki kenarı (27/4 m ve 14/3 m) ile halının çevresindeki boşluklar (1 1/2 m ve 1 m).
• Boşluk halının hem bir ucunda hem öbür ucunda olduğu için her yönde iki kez çıkarılır.

b) Verilen bilgilere göre halının ölçülerini bulunuz.

Cevap: Halının uzun kenarı 15/4 metre, kısa kenarı 8/3 metredir.

• Uzun kenar yönündeki boşluklar: 1 1/2 + 1 1/2 = 3 m. Halının uzun kenarı: 27/4 − 3 = 27/4 − 12/4 = 15/4 m
• Kısa kenar yönündeki boşluklar: 1 + 1 = 2 m. Halının kısa kenarı: 14/3 − 2 = 14/3 − 6/3 = 8/3 m

c) Robot süpürgenin şarjdan sonra süpürdüğü kısmın halının kaçta kaçı olduğunu nasıl bulabileceğinizi açıklayınız. Şarjdan önce ve sonra halının süpürülen kısımlarını bir model üzerinde temsil ediniz. Modelden yararlanarak süpürülmeyen kısmın halının kaçta kaçı olduğunu belirleyiniz.

Cevap: Şarjdan sonra halının 6/20’si, yani 3/10’u süpürülmüştür. Süpürülmeyen kısım halının 1/10’udur.

• İlk seferde 3/5 süpürüldü, geriye 2/5 kaldı. İkinci seferde bu kalanın 3/4’ü süpürüldüğü için iki kesri çarptım: 2/5 × 3/4 = 6/20
• Modelde halıyı 20 eş parçaya böldüm. 12 parça (3/5) şarjdan önce, 6 parça şarjdan sonra süpürüldü.
• 20 − 12 − 6 = 2 parça süpürülmedi: 2/20 = 1/10

ç) Modelden yola çıkarak bir çözüm stratejisi belirleyiniz. Bu stratejiyi uygulamak için gereken işlemleri yazarak problemi çözünüz. Çözümünüzü model kullanmadan farklı bir strateji ile çözünüz ve iki sonucu karşılaştırınız.

Cevap: Halının süpürülmeyen kısmı 1 metrekaredir. İki yol da aynı sonucu verir.

• Modelle: Halının alanı 15/4 × 8/3 = 120/12 = 10 m². Modele göre bunun 1/10’u süpürülmedi: 10 × 1/10 = 1 m²
• Modelsiz: Her seferden sonra geriye kalan kesirleri çarptım. İlk seferden sonra halının 2/5’i, ikinci seferden sonra bunun 1/4’ü kalır: 10 × 2/5 × 1/4 = 1 m²

a) Bakteri sayısının her 30 dakikada bir nasıl değiştiğini göz önüne alarak, her 30 dakikalık süre sonunda oluşan bakteri sayısını nasıl bulabileceğinizi açıklayınız.

Cevap: Her 30 dakikanın sonunda eldeki bakteri sayısını 2 ile çarparım.

• Bölünen her bakteriden iki bakteri oluşuyor; bu yüzden sayı her seferinde ikiye katlanıyor: 1, 2, 4, 8, …

b) Aşağıdaki tabloyu örneklerden yola çıkarak doldurunuz ve 3 saatin sonunda oluşacak bakteri sayısını bulunuz.

Cevap: 3 saatin (180 dakikanın) sonunda 64 bakteri oluşur.

• 90. dakika: 2 . 2 . 2 = 8
• 120. dakika: 2 . 2 . 2 . 2 = 16
• 150. dakika: 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32
• 180. dakika: 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 64

c) Bakteri sayısının 3 saatin sonunda kaç adet olacağını bulmak için yapılacak işlemi kısaca nasıl ifade edebileceğinizi arkadaşlarınızla tartışınız ve bu ifadeyi yazınız.

Cevap: Altı tane 2’nin çarpımı kısaca 2⁶ biçiminde yazılır; değeri 64’tür.

• 3 saatte 6 tane 30 dakika var, yani 2 ile 6 kez çarpıyoruz: 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 2⁶

ç) Üç saatin sonunda oluşacak bakteri sayısını tablo kullanmadan bulabilmek için yapılması gereken işlemleri açıklayınız. Başlangıçtan 300 dakika sonra ortamda oluşacak bakteri sayısını benzer şekilde ifade ediniz.

Cevap: Süreyi 30’a bölerek kaç kez bölünme olduğunu bulur, 2’yi o kadar kez kendisiyle çarparım. 300 dakika sonra 2¹⁰ = 1024 bakteri olur.

• 3 saat için: 180 ÷ 30 = 6 bölünme → 2⁶ = 64
• 300 dakika için: 300 ÷ 30 = 10 bölünme → 2¹⁰ = 1024

a) Topun bir kez yere çarptıktan sonra ulaştığı yüksekliğin, bırakıldığı yüksekliğin kaçta kaçı olduğunu ifade eden rasyonel sayıyı yazınız.

Cevap: 1/2

• Top ilk çarpıştan sonra bırakıldığı yüksekliğin yarısına çıkıyor.

b) Topun iki kez yere çarptıktan sonra ulaştığı yüksekliğin, bırakıldığı ilk yüksekliğin kaçta kaçı olduğunu ifade eden işlemi yazınız.

Cevap: 1/2 . 1/2 = 1/4

• İkinci çarpıştan sonra top, yarı yüksekliğin de yarısına çıkar. “Yarının yarısı” çarpma ile bulunur ve ilk yüksekliğin çeyreği eder.

c) Topun üçüncü ve dördüncü kez yere çarptıktan sonra ulaştığı yüksekliklerin, bırakıldığı ilk yüksekliğin kaçta kaçı olduğunu ifade eden işlemi, üslü gösterimini ve değerini tabloya örnekteki gibi yazınız.

Cevap: Üçüncü çarpışta (1/2)³ = 1/8, dördüncü çarpışta (1/2)⁴ = 1/16 olur.

• 3. çarpış: işlem 1/2 . 1/2 . 1/2, üslü gösterimi (1/2)³, değeri 1/8
• 4. çarpış: işlem 1/2 . 1/2 . 1/2 . 1/2, üslü gösterimi (1/2)⁴, değeri 1/16

ç) Yaptınız işlemleri dikkate alarak topun dokuzuncu kez yere çarpması durumunda ulaşılan son yüksekliğin başlangıçtaki yüksekliğinin kaçta kaçı olduğunu gösteren üslü ifadeyi yazınız.

Cevap: (1/2)⁹

• Tabloda üs, çarpış sayısıyla aynı gidiyor: 1. çarpışta 1/2, 2. çarpışta (1/2)², 3. çarpışta (1/2)³ … Dokuzuncu çarpışta üs 9 olur.
• Değeri: 2⁹ = 512 olduğu için (1/2)⁹ = 1/512