8. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 129-132-138-139 Cevapları Sonuç Yayınları

Cebir alanında çalışma yapan diğer bilim insanlarını araştırınız.

Cevap: Ömer Hayyam, Sabit bin Kurra, Ebu Kamil ve Nasirüddin Tusi cebir alanında çalışan bilim insanlarındandır.

• Ömer Hayyam (1048-1131): Üçüncü dereceden denklemleri geometriyle çözmeye çalışmıştır.
• Sabit bin Kurra (836-901): Cebir ve sayılar üzerine çalışmıştır.
• Ebu Kamil (850-930): Harezmi’nin cebirini geliştirmiş, denklemleri daha geniş uygulamıştır.
• Nasirüddin Tusi (1201-1274): Matematik ve trigonometri alanlarında önemli eserler yazmıştır.

Bazı cebirsel ifadelerle temsil edilen yukarıdaki cebir karolarını kullanarak bir dikdörtgeni modelleyiniz.

Cevap: 1 tane x² karosunu köşeye koydum; yanına 3 tane x karosunu, üstüne 1 tane x karosunu ve sağ üst köşeye 3 tane 1’lik karoyu yerleştirdim. Böylece kenarları x + 3 ve x + 1 olan bir dikdörtgen oluştu.

• Sol alt köşede x² karosu duruyor.
• x² karosunun üstüne 1 tane x karosu eklendi.
• x² karosunun sağına 3 tane x karosu eklendi.
• Kalan köşeye 3 tane 1’lik kare yerleşti.

Dikdörtgen modelindeki uzun ve kısa kenar uzunluklarını belirten cebirsel ifadeleri yazınız.

Cevap: Uzun kenar x + 3, kısa kenar x + 1’dir.

• Uzun kenarda x karosunun x kenarı ile 3 tane birim kenar yan yana: x + 3
• Kısa kenarda x karosunun bir kenarı ile 1 birim: x + 1

Dikdörtgen modelindeki uzun ve kısa kenar uzunluklarını çarpma işlemi şeklinde yazınız.

Cevap: (x + 3)(x + 1)

Dikdörtgen modelini oluşturan cebir karolarının belirttiği cebirsel ifadeleri toplama işlemi şeklinde yazınız.

Cevap: x² + 4x + 3

• 1 tane x² karosu: x²
• 4 tane x karosu: 4x
• 3 tane 1’lik karo: 3

Toplama işlemi şeklinde yazdığınız cebirsel ifade ile çarpma işlemi şeklinde yazdığınız cebirsel ifade arasında nasıl bir ilişki vardır? Açıklayınız.

Cevap: İki ifade eşittir: (x + 3)(x + 1) = x² + 4x + 3. İkisi de aynı dikdörtgenin alanını gösterir.

• Çarpma biçimi kenarları çarparak alanı verir.
• Toplama biçimi dikdörtgeni dolduran karoların alanlarını toplar.
• Açıp yeniden çarparak denedim: x · x + x · 1 + 3 · x + 3 · 1 = x² + 4x + 3

1. Aşağıdaki basit cebirsel ifadelerin her birini iki farklı biçimde yazınız.

Cevap: Her ifadeyi çarpanlarına ayırıp katsayıyı da iki çarpanın çarpımı olarak yazdım; çarpımları açınca ilk ifadeye geri döndüm.

• a) −40x²y² = −40·x²·y² = −5·8·x²y²
• b) 16xy = 16·x·y = 4·4xy
• c) −30a²b = −30·a²·b = −3·10·a²b
• ç) 100a² = 100·a² = 4·25·a²
• d) 7x+3 = (7x)+3 = 1·(7x+3)
• e) 10xy² = 10·x·y² = 2·5·xy²
• f) −c²d = −1·c²·d = −c·cd
• g) 32xyz² = 32·x·y·z² = 2·16·xyz²
• ğ) 70a = 70·a = 2·35a
• h) 36ab = 36·a·b = 4·9ab
• ı) −4e² = −4·e² = −1·4e²
• i) −25ed² = −25·e·d² = −1·25ed²

2. Seçeneklerde bazı dikdörtgenlerin alanları cebirsel ifadeler ile belirtilmiştir. b, c, x, y, a, d ve z pozitif tam sayılar olmak üzere dikdörtgenlerin alabilecekleri kenar uzunluklarını belirleyiniz.

Cevap: Alanı iki çarpana bölüp her çarpanı bir kenar yaptım; her alan için iki ayrı kenar çifti yazdım.

• a) 3bc²: 3bc ve c ya da 3b ve c²
• b) 20xy²: 4x ve 5y² ya da 10y ve 2xy
• c) 30xy²: 5y² ve 6x ya da 10xy ve 3y
• ç) 15xy: 3x ve 5y ya da 15 ve xy
• d) 100ad: 10a ve 10d ya da 25 ve 4ad
• e) 18xyz: 6x ve 3yz ya da 9xz ve 2y

3. a) 7x² − 4x + 2 cebirsel ifadesindeki terimleri, değişkenleri, katsayıları ve sabit terimi belirleyiniz.

Cevap: Terimler 7x², −4x ve 2’dir; değişken x, katsayılar 7 ve −4, sabit terim 2’dir.

• Toplama ve çıkarma işaretleriyle ayrılan her parça bir terimdir.
• Harf içeren terimlerin sayı çarpanı katsayıdır; harf içermeyen 2 sabit terimdir.

b) 3ca + a² + 5c − 1 cebirsel ifadesi için aynı belirlemeleri yapınız.

Cevap: Terimler 3ca, a², 5c ve −1’dir; değişkenler c ve a, katsayılar 3, 1 ve 5, sabit terim −1’dir.

• a² teriminin başında sayı yazmıyor, yani katsayısı 1.
• −1 harf içermediği için sabit terimdir.

c) 12d − 13 + d² cebirsel ifadesi için aynı belirlemeleri yapınız.

Cevap: Terimler 12d, −13 ve d²‘dir; değişken d, katsayılar 12 ve 1, sabit terim −13’tür.

• Terimlerin sırası değişse de işaretler terimle birlikte gider; −13 sabit terimdir.

4. Aşağıdaki çarpma işlemlerini yapınız.

Cevap: Her çarpımda ilk parantezin terimlerini ikinci parantezin her terimiyle çarptım, benzer terimleri topladım.

• a) (x+2)(x−5) = x² − 5x + 2x − 10 = x² − 3x − 10
• b) (y−6)(y−1) = y² − y − 6y + 6 = y² − 7y + 6
• c) (2z−2)(2z+3) = 4z² + 6z − 4z − 6 = 4z² + 2z − 6
• ç) (a+8)(−1−a) = −a − a² − 8 − 8a = −a² − 9a − 8
• d) (−2b+4)(3b−2) = −6b² + 4b + 12b − 8 = −6b² + 16b − 8
• e) −7c(−c+1) = 7c² − 7c
• f) (4−d)(−2d+7) = −8d + 28 + 2d² − 7d = 2d² − 15d + 28
• g) 13e(e−13) = 13e² − 169e
• ğ) (5k−1)(−k−5) = −5k² − 25k + k + 5 = −5k² − 24k + 5

5. Şemalarda belirtilen işlemleri yaparak boş kutucuklara yazılması gereken cebirsel ifadeleri belirleyiniz.

Cevap: a) −a² − 2a + 3 b) b² − 6b + 8 c) 6c² − 5c − 4

• a) (a+3)(−a+1) = −a² + a − 3a + 3 = −a² − 2a + 3
• b) (2−b)(4−b) = 8 − 2b − 4b + b² = b² − 6b + 8
• c) (3c−4)(2c+1) = 6c² + 3c − 8c − 4 = 6c² − 5c − 4

6. Aşağıdaki cebir karolarının içlerine alanları yazılmıştır. Aynı renkli cebir karoları eş olduğuna göre cebir karolarıyla modellenen çarpma işlemlerini yazınız.

Cevap: a) (2x+1)·(x+3) b) (x+3)·(x+3)

• a) Üst kenarda x, x ve 1 uzunluğunda üç parça var: 2x + 1. Yan kenarda x uzunluğunda bir parça ve 1 uzunluğunda üç parça var: x + 3. Karoları sayınca 2x² + 7x + 3 çıkıyor, çarpmayla uyuşuyor.
• b) Üst kenar x ve üç tane 1 uzunluğunda parçadan, yan kenar da aynı biçimde x + 3 olur. Karolar x² + 6x + 9 eder, yani (x+3)².

7. Yandaki PRST dikdörtgeninde |PR| = (3x − 1) br ve |RS| = (x + 2) br’dir. x, 1’den büyük pozitif bir tam sayı olduğuna göre PRST dikdörtgeninin alanını belirten cebirsel ifadeyi yazınız.

Cevap: Dikdörtgenin alanı (3x−1)(x+2) = 3x² + 5x − 2 br²‘dir.

• Alan = |PR|·|RS| = (3x−1)(x+2)
• 3x² + 6x − x − 2 = 3x² + 5x − 2